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美国总统大选的数学问题 - 白露为霜的日志

2018-04-14 16:14 点击:
美国总统大选的数学问题 - 白露为霜的日志

“总统候选人最低只需获得多少全国选票就可以赢得美国大选?”

 

白露为霜注:这道题目不是我发明的。这是小宝在中学时做过一道数学竞赛题。

50%加1票?我就知道有人会这样说。不过答案错误,再猜。

在“投了也白投,白投也要投”一文中提到, 美国总统选举是一种间接选举。选民先投票选出选举人,再由选举人选出总统。美国宪法Article II规定谁获得多数的选举人票谁就获胜,并没有提到全国普选得票的数量。那么有没有可能一个候选人赢得多于270张的选举人票却在全国得票不到半数呢?当然,可能性的确是存在的。这样的事情在美国历史上发生过三次。

 

1876年,第十九届总统Rutherford Hayes 赢得选举但他的普选票比对手少26万张。几年后的1888年,第二十三届总统 Benjamin Harrison全国得票比对手少近10万张。最近的一次是2000年,小布什(George W Bush)同高尔(Al Gore)争夺总统大位。把全世界看得目瞪口呆的是高尔的全国得票比布什高出50万张,却只得到266张选举人票,以4票之差饮恨。布什险胜佛罗里达功不可没。他在这个摇摆州只赢了大约300票,可由于种种原因被选举读卡机拒绝的废票竟有17万张之多。两人为佛州重数选票和如何处理这些废票打官司一直打到最高法院。布什获胜,历史就此而改写。“挂着的纸片” (hanging chad)也变成了美国政治词语中的一个。

 

官员在研究2000年佛罗里达的选票

 

现在我们把这个例子推向极端。假设罗姆尼运气极佳而且心想事成,他怎样才能用最少的全国普选票来赢得大选?我们知道他不需要50%,但到底这个数字是45%或35%?

要让这道题有解我们还要做些简化工作:1) 假设所以州都是“赢者全拿”(实际上缅因州和内布拉斯加州是例外);2) 假设所有的选区(congressional district) 投票的人都是一样多 (实际上还是有差别的)。3)只有两个候选人(其实还有一些小党的候选人)。

对于到现在还没有头绪的读者这里给出提示。产生这种选举人票和全国普选票不一至现象主要有两种原因。

提示1:候选人赢得了很多小州

每个州的选举人的数目相当于这个州的众议员数目加上参议员数目。比如德州(Texas)有36名众议员和2名参议员,共38张选举人票。美国众议院共435人。每个州的众议员的数目取决于州的人口。每隔10年,美国就要进行一次人口普查,其目的之一就是确定各个州的众议员的数量。然后各州还要进行重新划区(redistricting)以确保每个选区的人口基本相同。平均下来,每个选区的人口大约是60万。

而每个州的参议员的数目却于人口无关。不管大小每个州都是两人,50个州共100人。参议员的选区是整个州。

到现在你应该可以看出了。要想以最少的选票取得大选胜利策略之一是赢得许多小州。因为州越小,参议员两个名额的效果就越显著。

提示2:候选人在获胜的州小胜,而在他失败的州却大败

美国总统大选在州一级是赢者全拿 (Winner-takes-all)。如果罗姆尼赢得了52%的德州选票,他将获得德州全部的38张选举人票。要想以小搏大另一策略就是在他赢的州小胜而在他输的州大败。

候选人票的分布

把这两个策略合在一起,你就应该能解出这道题。让我们假设奥巴马运气极差。他赢得11个最大的州,包括: 加州(55),佛罗里达(29),伊利诺斯(20),密西根(16),新泽西(14),纽约(29),北卡(15),俄亥俄(18),宾夕法尼亚(20),德州(38),佛及尼亚(13)。这些州给了他267张选举人票,刚刚好低于270的门槛。奥巴马不但赢了这些州,而且是获得了100%的选票,但这没有帮助,还是只有267张选举人票。

相应的罗姆尼赢得了剩下的39个州加华盛顿DC,共获得选举人票271张,因而获得的大选的胜利。罗姆尼而且赢得很巧妙,每个州都是50%+1票。

罗姆尼胜出的这些州里有多少选区呢?271人减40州参议员的数目 271 - 40 * 2=191个。因为每个州他只赢了一半多一点的选票,所以投票给罗姆尼的人共有 191 * N / 2=95.5 * N (N是每选区投票的人数)。全国438个选区,所以全国共有 438 * N 选票。罗姆尼的全国得票律是 (95.5 * N) /(438 * N)=21.8%

答案:总统候选人最低只需获得全国选票的 21.8% 就当上美国总统

相信不少人对这个数字会很惊讶。只获得全国选票的22%就可以赢得大选?这还了得!这如何体现多数人说了算的民主原则?如果设计这一制度的美国国父们(founding fathers)知道可能会有这样的结果不知会如果作想。当然这样的事情只有在理论上的可能性,在实际生活里是不大会发生。每个国家的制度都有它形成的历史渊源。当初13个殖民地坐下来讨论成立联邦的时候,各州都在为自己争取利益。美国独特的选举制度也是一个妥协的结果。历史上也有过好几次想通过修改宪法把总统选举改成直选,但这些努力都未能成功。

白露写这篇博文的目的不是为了批评美国的选举制度。大多数情况下选举人票和普选得票结果是相同的,在少数极端情况下,结果却有很大不同。That's the way it is。是否公平也是见仁见智。作为新移民,对美国政治有个全面的认识,对它的一些独特属性有所了解也是很有必要的。民主也是一个学习的过程,作为附加的好处:对算术也有帮助。



编辑:admin 作者:佚名
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